आज हम इस पोस्ट में लघुत्तम समापवर्तक (LCM) तथा महत्तम समापवर्तक(HCF) Chapter से प्रतियोगी परीक्षाओं में अक्सर पूछे जाने वाले Question लेकर आये हैं, जोकि SSC CGL,Lekhpal,IBPS,SSC CHSL परीक्षाओं में अक्सर पूछे जाते हैं |

लघुत्तम समापवर्तक (LCM) तथा महत्तम समापवर्तक(HCF) क्या है। और लघुत्तम समापवर्तक (LCM) तथा महत्तम समापवर्तक(HCF) सवालों को हल कैसे करते हैं ?

गुणनखंड (Factors) का क्या मतलब है?

किसी संख्या का एक गुणनखंड (Factors) वह सभी संख्याये है, जो वास्तव में दिए गए नंबर को विभाजित करते हैं। “वास्तव में विभाजित” का अर्थ है कि जब कोई संख्या उसके गुणनखंड (Factors) से विभाजित होती है तो Reminder(अनुस्मारक) हमेशा 0 (शून्य) होता है।

उदाहरण : 1 और 3, 3 के factors(गुणनखंड) है.
इसी प्रकार 4,5, 6, 7, 8 के गुणनखंड (Factors) नीचे दिए गए हैं।

4 = 1,2,4
5 = 1, 5
6 = 1,2,3,6
7 = 1,7
8 = 1,2,4,8

गुणक का क्या मतलब है?

किसी संख्या के गुणक वे संख्याएं हैं जो दिए गए नंबर से बिल्कुल विभाजित हैं।

उदाहरण – 4 के गुणक 4,8,12,16,20 आदि. इसी प्रकार 5,6,7,8 के गुणक नीचे दिए गए हैं।
5 => 5,10,15,20 आदि
6 => 6,12,18,24 आदि
7 => 7,14,21,28 आदि
8 => 8,16,24,32 आदि

अभाज्य संख्या (Prime Number)
एक अभाज्य संख्या (Prime Number) एक संख्या है जिसमें केवल दो गुणनखंड (Factors) होते हैं।
पहला कारक (Factor) “1” है और दूसरा गुणनखंड (Factors) संख्या ही है।

उदाहरण: जैसा कि आप नीचे दी गई संख्याओं में देख सकते हैं, दी गय़ी संख्याओं में केवल दो गुणनखंड (Factors) हैं।

संख्या 2 क़े गुणनखंड (Factors) => 1,2
संख्या 3 क़े गुणनखंड (Factors) => 1,3
संख्या 5 क़े गुणनखंड (Factors) => 1,5
संख्या 7 क़े गुणनखंड (Factors) => 1,7
संख्या 11 क़े गुणनखंड (Factors) => 1,11

भाज्य संख्या (Composite Number)
भाज्य संख्या वह् संख्या है जिसमें दो से अधिक गुणनखंड (Factor) होते हैं।

उदाहरण: जैसा कि आप नीचे दी गई संख्याओं में देख सकते हैं, दी गय़ी संख्याओं में दो से अधिक गुणनखंड (Factor) हैं।

संख्या 4 क़े गुणनखंड (Factors) => 1,2,4

संख्या 6 क़े गुणनखंड (Factors) => 1,2,3,6

संख्या 8 क़े गुणनखंड (Factors) => 1,2,4,8

संख्या 9 क़े गुणनखंड (Factors) => 1,3,9

एक अभाज्य संख्या (Prime Number) और भाज्य संख्या (Composite Number) के बीच का अंतर यह है कि- एक अभाज्य संख्या (Prime Number) में वास्तव में 2 गुणनखंड (Factor) होते हैं और एक भाज्य संख्या (Composite Number) में दो से अधिक गुणनखंड (Factor) होते हैं।

लघुत्तम समापवर्तक (LCM) तथा महत्तम समापवर्तक(HCF) क्या है ?
लघुत्तम समापवर्तक (Least Common Multiple)
दो दिए गए नंबरों का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) वह छोटा से छोट संख्या है जो दिए गए नंबर में से प्रत्येक द्वारा बिल्कुल विभाजित हो जाये।

प्रश्न 1: 3 और 4 का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) निकालो ।
हल –
चरण (Step) 1 :
3 और 4 गुणकों की सूची नीचे दी ग़ाय़ी है।
3 के गुणक => 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27
4 के गुणक => 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28
दो संख्याओं 3 और 4 के बीच लघुत्तम समापवर्तक (Least Common Multiple) 12 है।

प्रश्न 2: 10, 12, 15 का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) निकालो |
हल – सभी संख्याओं के गुणकों को लिखना संभव नहीं है क्योंकि यह एक लंबी प्रक्रिया है। इसलिए, हम ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए एक विधि का पालन करते हैं।
Step 1: उन संख्याओं को हटा दें जो अन्य संख्याओं के गुणनखंड हैं।
Step 2:                             

Step 3:
2 ✕ 2 ✕ 3 ✕ 5 = 60
इसलिए, 60 सबसे छोटी संख्या है जो सभी संख्याओं से विभाजित है।

महत्तम समापवर्तक(HCF) : दो या अधिक दिए गए नंबरों का महत्तम समापवर्तक(HCF) वह् उच्चतम संख्या है जो वास्तव में सभी संख्याओं को विभाजित करता है।

उदाहरण 1: 20 और 25 का महत्तम समापवर्तक(HCF) निकालो |

हल : दिए गए नंबर के सभी गुणनखंड(Factor) को लिखें और जांचें कि दो दिए गए नंबर के बीच महत्तम समापवर्तक(HCF) कौन सा है-
20 = 1, 2, 4, 5, 10, 20
25 = 1, 5, 25

उभय-निष्ठ गुणनखंड(Factor) 5 है
महत्तम समापवर्तक(HCF) = 5

पहले सभी गुणनखंड(Factor) को लिखना और फिर महत्तम समापवर्तक(HCF) ढूंढना एक कठिन काम है। इसलिए हम सरल भाग (division) विधि लेते हैं जो हमें दिए गए नंबर के highest common factor(म.स.) को खोजने में मदद करेगा। इस विधि में, भाग जो शेष को शून्य के रूप में देता है, दिए गए नंबर का महत्तम समापवर्तक(HCF) बन जाता है।
यदि दिए गए नंबर प्राइम नंबर हैं तो महत्तम समापवर्तक(HCF) 1 होगा।

20 और 25 का महत्तम समापवर्तक(HCF) = 5

प्रश्न : 10,35 और 50 का महत्तम समापवर्तक(H.C.F) क्या होगा.।

हल :

इस प्रश्न में 3 संख्याये दी है, उदाहरण के लिए, 3 नंबरों को , A, B, C के रूप में लेते हैं। हम पहले A और B का महत्तम समापवर्तक(H.C.F) निकालते हैं। मान लीजिए कि A और B का महत्तम समापवर्तक(H.C.F) ‘D’ है। फिर हम D और C का महत्तम समापवर्तक(H.C.F) निकालते हैं |

Step 1 10 और 35 का महत्तम समापवर्तक(H.C.F)

Step 2: 10 और 35 का महत्तम समापवर्तक = 5
अब 5 और 50 का महत्तम समापवर्तक(H.C.F)

इसलिए 10,35 और 50 का महत्तम समापवर्तक (H.C.F) 5 है।

लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M) तथा महत्तम समापवर्तक(H.C.F) Chapter से प्रतियोगी परीक्षाओं में अक्सर पूछे जाने वाले Question

TYPE 1

1- दो संख्याओ का लo सo (L.C.M) 225 तथा महत्तम समापवर्तक(H.C.F) 5 है | यदि एक संख्या 25 हो तो दूसरी संख्या होगी |

हल :

दो संख्याओ का गुणनफल = दोनो संख्याओ का मo सo ✕ लo सo अथवा
पहली संख्या ✕ दुसरी संख्या = लo सo ✕ मo सo

दिया है , लo सo = 225
मo सo = 5
पहली संख्या = 25
दूसरी संख्या = ?

सूत्र(Formula) मे मान रखने पर –

25 ✕ दुसरी संख्या = 225 ✕ 5
दुसरी संख्या = (225 ✕ 5)/25
दुसरी संख्या = 9 ✕ 5

दुसरी संख्या = 45

2- दो संख्याओ का गुणनफल 4107 है यदि उनका मo सo 37 हो तो उनमे बडी संख्या होगी |

हल :

दो संख्याओ का गुणनफल = 4107
मo सo = 37
दो संख्याओ का गुणनफल = दोनो संख्याओ का मo सo ✕ लo सo
4107 = 37 ✕ लo सo
लo सo = 4107/37
लo सo = 111
दो संख्याय़े = 37, 111
बडी संख्या = 111

3- भिन्न 4/3, 10/9, 16/15  का महात्तम समापवर्तक (H.C.F) कितना है ?

हल :

4, 10, 16 का मo सo  = 2

3, 9, 15 का लo सo = 45

= 2/45

TYPE -2

1- वह छोटी-से-छोटी संख्या जिसे 4, 6, 8, 12 और 16 से भाग देने पर प्रत्येक दशा मे 2 शेष रहे |

हल : 4, 6, 8, 12 और 16  का लo सo

2 ✕ 2 ✕ 2 ✕ 2 ✕ 3 = 48

लo सo = 48

संख्या = 48 + 2 = 50

2-  पांच अंको की वह सबसे बडी संख्या निकालो जिसमे 3, 5, 8 और 12 से भाग देने पर प्रत्येक दशा मे 2 शेष बचे |
हल : 3, 5, 8 और 12 का लo सo = 120
120 से पांच अंको की वह सबसे बडी संख्या (99999) मे भाग देने पर,

संख्या = 99999 – 39 + 2 = 99962
संख्या = 99962

3- 13 का सबसे छोटा गुणज जिसमे 4, 5, 6, 7 और 8 से भाग देने पर प्रत्येक दशा मे 2 शेष बचे ?
हल : 4, 5, 6, 7 और 8 का लo सo

2 ✕ 2 ✕ 2 ✕ 3 ✕ 5 ✕ 7 = 840
4, 5, 6, 7 और 8 का लo सo = 840

अभीष्ट संख्या = 840K + 2 जो 13 से पूर्णता विभाज्य है
k = 3 के लिये प्राप्त संख्या
840 ✕ 3 + 2 = 2522 जो 13 से पूर्णता विभाज्य है

4- चार अंको की वह सबसे बडी संख्या निकालो जिसमे 15, 18, 21 और 24 से भाग देने पर क्रमशः 11, 14, 17 और 20 शेष बचे
हल : 15, 18, 21 और 24 का लo सo
15 = 3 ✕ 5
18 = 2 ✕ 3 ✕ 3
21 = 3 ✕ 7
24 = 2 ✕ 2 ✕ 2 ✕ 3
=> 2₃ ✕ 3₂ ✕  5 ✕ 7 = 2520
चार अंको की सबसे बडी संख्या = 9999
2520)9999(3
7260
——-
2439
अभीष्ट संख्या = 9999 – 2439 – 4 = 7556
क्योंकि :
(15 – 11 = 4
18 – 14 = 4
21 – 17 = 4
24 – 20 = 4)

TYPE -3

1- वह सबसे बडी संख्या जिससे 989 और 1327 को भाग देने पर क्रमशः 5 और 7 शेष बचे ?
हल :
989 – 5 = 984
1327 – 7 = 1320
अब 984 और 1320 का मo सo = 24

TYPE -4

1- 28 और 42 के लo सo(L.C.M) और मo सo(H.C.F) किस अनुपात में होंगे ?
हल :पहले हम 28 और 42 के लo सo(L.C.M) और मo सo(H.C.F) निकलेंगे
28 और 42 का लo सo(L.C.M) = 84
28 और 42 का मo सo(H.C.F) = 14

अनुपात = 84 : 14
= 6 : 1

2- दो संख्याएं 5:6 के अनुपात में है यदि उसका लo सo(L.C.M) 120 हो तो मo सo(H.C.F) होगा ?
हल : माना की संख्याएं 5x और 6x
लo सo(L.C.M) = 30x = 120
x = 120/30
x = 4 महत्तम समापवर्तक(HCF)

3- दो संख्याएं 3:4 के अनुपात में है यदि उनका मo सo(H.C.F) 5 हो तो लoसo(L.C.M) होगा ?
हल : माना की संख्याएं 3x और 4x
मo सo(H.C.F) = 5
संख्याएं = 3 ✕ 5 = 15
4 X 5 = 20

15 और 20 का लo सo(L.C.M) = 60

TYPE -5

1- दो संख्याओं का योग 36 है उनका मo सo(H.C.F) 4 है इस प्रकार की संख्याओं के कितने युग्म संभव है ?
हल : माना की संख्याएं 4A और 4B है
4A + 4B = 36
A + B = 9

अर्थात संख्याओं के युग्म : (1,8), (2,7), (4,5) संभव है